Hasta ahora hemos modelado los procesos como dependientes solo de su pasado o de procesos de innovación.

Sin embargo, para muchas series económicas deseamos modelar la relación entre nuestra variable de interés y el valor actual y rezagos de otras variables independientes y rezagos de la variable de interés.

Modelos de Rezagos distribuidos

Empezamos con el modelo dinámico con variables independientes más sencillo.

Por simplicidad de notación miraremos el caso con una sola variable independiente \(z_t\). En la practica suele haber más de una variable, pero en los casos que veremos a continuación la extensión a modelos más generales es sencilla.

Cuando el proceso \(x_t\) depende solamente de nuestra variable independiente \(z_t\) y no de rezagos de si mismo tenemos lo que es llamado el modelo de rezagos distribuidos.

Este se puede escribir como, \[\begin{equation}\label{eq:rd} x_t = \delta + \sum_{j=0}^b \beta_j z_{t-j} + \varepsilon_t \end{equation}\]

donde \(\varepsilon_t \sim IID(0,\sigma^2)\)

En muchos casos \(z_t\) esta correlacionado con algunos o todos los rezagos \(z_{t-j}\) para \(j \geq 1\).

En consecuencia, los estimadores MCO de \(\beta_j\) en la ecuación anterior pueden ser bastante imprecisos.

Sin embargo, esto no es, generalmente, un problema si lo que nos interesa es el efecto de largo plazo de cambios de la variable independiente \(z_t\).

Modelos de Ajuste parcial

Una alternativa popular al modelo de rezagos distribuidos es el modelo de ajuste parcial, que fue propuesto, al menos para economía, por Nerlove (1958).

Este modelo también es conocido como modelo de Koyk ya que la ecuación a estimar es la misma que el modelo de ajuste parcial, pero los supuestos iniciales son distintos.

Supongamos que el nivel deseado de una variable económica, \(x_t\) es \(x^0_t\).

Este nivel deseado asumimos que depende de una variable exógena \(z_t\), así

\[\begin{equation} x^0_t = \beta^0 z_t + \varepsilon_t \end{equation}\] donde \(\varepsilon_t \sim IID(0,\sigma_{\varepsilon}^2)\)

Debido a costos de ajuste, \(x_t\) no es igual a \(x^0_t\) en todos los periodos. Este se ajusta hacia \(x^0_t\) de acuerdo a la ecuación,

\[\begin{equation} x_t - x_{t-1} = (1-\lambda)(x^0_t - x_{t-1}) + \upsilon_t \end{equation}\]

donde \(\upsilon_t \sim IID(0,\sigma_{\upsilon}^2)\), y \(\lambda\) es un parámetro de ajuste que se asume positivo y estrictamente menor a 1.

Resolviendo por \(x_t\) obtenemos,

\[\begin{align} x_t & = x_{t-1} - (1 - \lambda)x_{t-1} + (1-\lambda)\beta^0 z_t + (1-\lambda)\varepsilon_t +\upsilon_t \nonumber \\ & = \beta z_t + \lambda x_{t-1} + u_t \label{map} \end{align}\] donde \(\beta \equiv (1-\lambda)\beta^0\) y \(u_t \equiv (1-\lambda)\varepsilon_t + \upsilon_t\).

Por lo tanto, el modelo de ajuste parcial lleva a una regresión lineal de \(x_t\) con respecto a \(z_t\) y \(x_{t-1}\)

El coeficiente de \(x_{t-1}\) es el parámetro de ajuste, y estimaciones de \(\beta^0\) se pueden obtener de los estimadores de MCO de \(\beta\) y \(\lambda\).

Noten que el modelo no tiene sentido si \(\lambda<0\) ya que esto implicaría una sobre-reacción, o si \(\lambda \geq 1\) ya que esto implicaría alejarse cada vez más. Además, cuando \(\lambda\) es muy cercana a 1, la velocidad de ajuste puede ser improbablemente lenta.

La ecuación también puede ser solucionada para encontrar \(x_t\) en función del valor actual y rezagos de \(z_t\).

Bajo el supuesto que \(|\lambda|<1\), obtenemos \[\begin{equation} x_t = \sum_{j=0}^{\infty} \lambda^j \beta z_{t-j} + \sum_{j=0}^{\infty} \lambda^j u_{t-j} \end{equation}\]

Por lo tanto, el modelo de ajuste parcial implica una forma particular de de rezago distribuido.

En contraste con el modelo de rezagos dsitribuidos, \(x_t\) ahora depende de los valores rezagados del error \(u_t\) al igual que que de valores rezagados de \(z_t\).

Si los regresores afectan \(x_t\) a través de rezagos distribuidos, y si el termino de error refleja la influencia de las variables omitidas, entonces es de esperar que estas variables omitidas también afecten \(x_t\) a través de unos rezagos distribuidos.

Sin embargo, la restricción que el mismo coeficiente afecta a todas las observaciones puede ser bastante restrictivo.

Modelos ADL

Ahora consideraremos una familia general de modelos que incluyen rezagos de la variable dependiente y variables independientes.

Un modelo autoregresivo de rezagos distribuidos, o ADL por sus siglas en ingles, se denota como, \[\begin{equation} x_t = \delta + \sum_{i=1}^p \phi_i x_{t-i} + \sum_{j=0}^b \beta_j z_{t-j} + u_t \end{equation}\] donde \(u_t \sim IID(0,\sigma^2_u)\). Este es un modelo ADL(p,b).

Veamos el caso del ADL(1,1), \[\begin{equation} x_t = \delta + \phi_1 x_{t-1} + \beta_0 z_{t} + \beta_1 z_{t-1} + u_t \end{equation}\]

Los resultados del ADL(1,1) son fácilmente generalizables para el caso ADL(p,b), por lo cual centraremos nuestra discusión en este caso especial.

Aunque el modelo ADL(1,1) es bastante sencillo, muchos modelos encontrados en la practica son casos especiales de este.

• Si \(\phi_1=\beta_1=0\) obtenemos un modelo estático con errores IID.
• Si \(\beta_0=\beta_1=0\) obtenemos el modelo AR(1).
• Si \(\beta_1=0\), obtenemos el modelo de ajuste parcial.
• Si \(\beta_1=-\phi_1\beta_0\) obtenemos un modelo estático con errores AR(1)

• Y finalmente si \(\phi_1=1\) y \(\beta_1=-\beta_0\), obtenemos el modelo en primeras diferencias que puede ser escrito como: \[\begin{equation*} \Delta x_t = \delta + \beta_0 \Delta z_t + u_t \end{equation*}\]

  antes de aceptar cualquiera de estos casos especiales, deberíamos testearlos contra el modelo ADL(1,1) general.

En general, es deseable imponer la condición que \(|\phi_1|<1\).

Estrictamente, esta no es una condición de estacionariedad ya que no podemos esperar que \(x_t\) sea estacionario sin imponer condiciones adicionales en la variable \(z_t\).

Sin embargo, es fácil ver que si la condición no se cumple \(x_t\) se vuelve explosivo.

Si la condición \(|\phi_1|<1\) se cumple, puede existir un equilibrio de largo plazo entre \(x_t\) y \(z_t\). Supongamos que existe un valor de equilibrio \(z^0\) al cual \(z_t\) converge cuando \(t \rightarrow \infty\) en la ausencia de choques. Entonces, \(x_t\) converge a un estado estacionario \(x^0\) tal que,

\[\begin{equation} x^0 = \delta + \phi_1 x^0 + (\beta_0 + \beta_1) z^0 \end{equation}\]

Resolviendo esta ecuación para \(x^0\) como función de \(z^0\) tenemos, \[\begin{align*} x^0 & = \frac{\delta}{1-\phi_1} + \frac{\beta_0 + \beta_1}{1 - \phi_1}z^0 \\ & = \frac{\delta}{1-\phi_1} + \lambda z^0 \end{align*}\]

donde \(\lambda \equiv \frac{\beta_0 + \beta_1}{1 - \phi_1}\)

\(\lambda\) es la derivada de largo plazo de \(x^0\) con respecto a \(z^0\) (la podemos interpretar como una elasticidad si ambas variables están en logaritmos).

Un estimado de \(\lambda\) es posible a partir del modelo ADL(1,1) si y solo si \(|\phi_1|<1\)

Debido a la generalidad de los modelos ADL, es generalmente recomendable empezar especificando un modelo de este tipo.

En muchos casos imponer \(p=b=1\) es suficientemente general, pero con datos estacionales también se puede imponer \(p=b=s\).

El tipo de restricciones que pongamos sobre este modelo pueden ser testeadas con las pruebas \(\chi^2\) y \(F\) tradicionales.

Modelos ARMAX

Los modelos ADL estiman solo efectos auto-regresivos. Una extensión inmediata que viene a la mente es la inclusión de efectos MA dentro del modelo.

Como vimos en el modelo de ajuste parcial estos efectos pueden ser entendidos en este modelo como efectos rezagados de variables omitidas.

El modelo ARMAX(p,q,b) se define entonces como, \[\begin{equation} x_t = \sum_{j=1}^p \phi_j x_{t-j} + \sum_{i=0}^b \beta_i z_{t-i} + \varepsilon_t + \sum_{k=1}^q \theta_k \varepsilon_{t-k} \end{equation}\]

Sin embargo, en este modelo los parámetros \(\beta_i\) no pueden ser interpretados como en una regresión lineal normal, ya que este tiene que ser interpretado condicional a los valores pasados de \(x_t\).

Por lo tanto, si queremos interpretar estos coeficientes debemos hacer una transformación del modelo a estimar, \[\begin{equation} x_t - Z_t\beta = \sum_{j=1}^p \phi_j (x_{t-j} - Z_{t-j}\beta )+ \varepsilon_t + \sum_{k=1}^q \theta_k \varepsilon_{t-k} \end{equation}\]

donde \(Z_t\beta = \sum_{i=0}^b \beta_i z_{t-i}\)

Este tipo de modelos también se pueden escribir como modelos dinámicos con errores ARMA, \[\begin{equation} x_t = Z_t\beta + \eta_t \end{equation}\]

donde \(\eta_t= \sum_{j=1}^p \phi_j (x_{t-j} - Z_{t-j}\beta )+ \varepsilon_t + \sum_{k=1}^q \theta_k \varepsilon_{t-k}\)

Los paquetes estadísticos por lo general usan una de estas dos transformaciones para las estimaciones.